دانلود کتاب Grenzen der Mathematik: Eine Reise durch die Kerngebiete der mathematischen Logik

فهرست مطالب :

Cover......Page 1
Grenzen der Mathematik......Page 3
ISBN 9783827425591......Page 4
Vorwort......Page 6
Inhaltsverzeichnis......Page 8
1.1 Wahrheit und Beweisbarkeit......Page 12
1.2.1 Rätsel des Kontinuums......Page 18
1.2.2 Auf den Spuren der Unendlichkeit......Page 24
1.2.3 Macht der Symbole......Page 38
1.2.4 Aufbruch in ein neues Jahrhundert......Page 42
1.2.5 Grundlagenkrise......Page 47
1.2.6 Axiomatische Mengenlehre......Page 53
1.2.7 Hilberts Programm und Gödels Beitrag......Page 55
1.2.8 Grenzen der Berechenbarkeit......Page 64
1.2.9 Auferstanden aus Ruinen......Page 72
1.3 Übungsaufgaben......Page 78
2.1 Definition und Eigenschaften......Page 82
2.2 Entscheidungsverfahren......Page 94
2.3.1 Syntax und Semantik......Page 98
2.3.2 Aussagenlogischer Kalkül......Page 104
2.4 Prädikatenlogik erster Stufe......Page 113
2.4.1 Syntax und Semantik......Page 114
2.4.2 Prädikatenlogischer Kalkül......Page 119
2.5 Prädikatenlogik mit Gleichheit......Page 122
2.6.1 Syntax und Semantik......Page 127
2.6.2 Henkin-Interpretation......Page 131
2.7 Übungsaufgaben......Page 134
3 Fundamente der Mathematik......Page 142
3.1.1 Syntax......Page 143
3.1.2 Semantik......Page 144
3.1.3 Axiome und Schlussregeln......Page 148
3.2 Axiomatische Mengenlehre......Page 156
3.2.1 Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre......Page 158
3.2.1.1 ZF-Axiome......Page 159
3.2.1.2 Das Auswahlaxiom......Page 167
3.2.1.3 Mengenlehre als Fundament der Mathematik......Page 173
3.2.1.4 Einbettung der natürlichen Zahlen......Page 181
3.2.2.1 Definition und Eigenschaften......Page 183
3.2.2.2 Der Unendlichkeit entgegen......Page 188
3.2.2.3 Ordnungstypen und Wohlordnungen......Page 195
3.2.2.4 Transfinite Induktion......Page 198
3.2.3 Kardinalzahlen......Page 201
3.3 Übungsaufgaben......Page 203
4.1 Gödel’sche Unvollständigkeitssätze......Page 208
4.2 Der erste Unvollständigkeitssatz......Page 209
4.2.1 Arithmetisierung der Syntax......Page 213
4.2.2 Primitiv-rekursive Funktionen......Page 218
4.2.3 Arithmetische Repräsentierbarkeit......Page 220
4.2.4 Gödels Diagonalargument......Page 226
4.2.5 Rossers Beitrag......Page 231
4.3 Der zweite Unvollständigkeitssatz......Page 234
4.4 Gödels Sätze richtig verstehen......Page 239
4.5 Der Satz von Goodstein......Page 244
4.6 Übungsaufgaben......Page 251
5 Berechenbarkeitstheorie......Page 254
5.1.1 Turing-Maschinen......Page 255
5.1.1.1 Erweiterungen des Basismodells......Page 259
5.1.1.2 Alternative Beschreibungsformen......Page 261
5.1.1.3 Universelle Turing-Maschine......Page 264
5.1.2 Registermaschinen......Page 269
5.2 Die Church’sche These......Page 272
5.3.1 Das Halteproblem......Page 279
5.3.2 Der Satz von Rice......Page 282
5.4 Folgen für die Mathematik......Page 284
5.4.1 Unentscheidbarkeit der PL1......Page 285
5.4.2 Unvollständigkeit der Arithmetik......Page 292
5.4.3 Hilberts zehntes Problem......Page 300
5.4.3.1 Diophantische Repräsentierbarkeit......Page 303
5.4.3.2 Codierung von Registermaschinen......Page 305
5.5 Übungsaufgaben......Page 316
6 Algorithmische Informationstheorie......Page 324
6.1 Algorithmische Komplexität......Page 325
6.2 Die Chaitin’sche Konstante......Page 333
6.3 Unvollständigkeit formaler Systeme......Page 343
6.4 Übungsaufgaben......Page 346
7 Modelltheorie......Page 350
7.1 Meta-Resultate zur Prädikatenlogik......Page 351
7.1.1 Modellexistenzsatz......Page 354
7.1.2 Kompaktheitssatz......Page 356
7.1.3 Satz von Löwenheim-Skolem......Page 360
7.2 Nichtstandardmodelle von PA......Page 363
7.2.1 Abzählbare Nichtstandardmodelle......Page 364
7.2.2 Überabzählbare Nichtstandardmodelle......Page 367
7.3 Das Skolem-Paradoxon......Page 374
7.4 Boolesche Modelle......Page 381
7.4.1 Definition und Eigenschaften......Page 382
7.4.2 Ein einfacher Unabhängigkeitsbeweis......Page 387
7.5 Übungsaufgaben......Page 394
Literaturverzeichnis......Page 402
L......Page 410
Z......Page 411
Lebensdaten......Page 412
B......Page 414
F......Page 415
K......Page 416
P......Page 417
S......Page 418
V......Page 419
Z......Page 420