دانلود کتاب Álgebra Lineal

فهرست مطالب :

Indice general 1. Operaciones asociativas 1 1.1. Semigruposymonoides.......................... 1 1.1.1. Tablasdemultiplicar....................... 2 1.1.2. Monoidesconcancelaci ́on .................... 5 1.2. Grupos................................... 6 1.2.1. Subgruposyrestriccio ́ndefunciones. . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Anillos................................... 13 1.3.1. Productodecopiasdeunanillo.................. 15 2. Espacios vectoriales 19 2.1. Espaciosvectorialesysubespacios.................... 19 2.2. Elsubespaciogeneradoporunconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. Dependenciaeindependencialineal ................... 32 2.4.Bases.................................... 35 2.5. Conjuntosparcialmenteordenados.................... 46 2.6. LemadeZorn............................... 50 2.7. Dimensio ́n................................. 52 3. Transformaciones lineales 67 3.1. Transformaciones lineales, nu ́cleos e im ́agenes.................................. 67 3.2. Lapropiedaduniversaldelasbases ................... 73 3.3. Lamatrizdeunatransformacio ́nlineal ................. 85 3.4. Sumayproductodematrices ...................... 94 3.5. Lamatrizdecambiodebase....................... 102 4. Sistemas de ecuaciones lineales 111 4.1. Operacioneselementales ......................... 111 4.1.1. Matricesreducidasyescalonadas ................ 118 4.2. Lainversadeunamatriz......................... 123 4.3. Sistemasdeecuaciones .......................... 126 4.4. Espaciosduales .............................. 136 4.4.1. C ́alculo de la base dual para un espacio de dimensio ́nfinita.......................... 137 4.4.2. Ladimensio ́ndelespaciodual .................. 140 4.5. Latranspuestadeunafuncio ́nlineal .................. 143 5. Espacios con producto interior I 151 5.1. Productosinteriores............................ 151 5.2. La norma inducida por un producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.2.1. ElTeoremadeCauchy-Schwarz ................. 154 5.3. Latrazaylaadjuntadeunamatriz................... 156 5.4. Ortogonalidad y el Teorema de Gram-Schmidt............................... 158 5.4.1. Matricesrespectoaunabaseortonormal . . . . . . . . . . . . 168 5.4.2. Representaci ́on de elementos del espacio dual . . . . . . . . . 169 5.5. Eloperadoradjunto ........................... 169 5.6. Propiedades del operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.7. Transformaciones lineales y productos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.8. OperadoresunitariosenR2........................ 177 5.9. Movimientosr ́ıgidos(Isometr ́ıas) .................... 179 6. Determinantes 185 6.1. Funcionesn-lineales............................ 185 6.1.1. Factorizacio ́n u ́nica como producto de ciclos . . . . . . . . . . 189 6.1.2. Estructura c ́ıclica y signo de una permutaci ́on . . . . . . . . . 195 6.2. El desarrollo por renglones del determinante ............................... 213 6.3. Invertibilidadyeldeterminante ..................... 218 6.4. La regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 6.5. Similitud.................................. 226 7. Polinomios con coeficientes en R 231 7.1. Polinomiosyelalgoritmodeladivisi ́on . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 7.2. LaestructuraalgebraicadeR[�]..................... 238 viii 8. Vectores propios y diagonalizaci ́on 247 8.1. Vectoresyvalorespropios ........................ 247 8.2. Elpolinomiocaracter ́ıstico........................ 250 8.3. Espaciospropiosydiagonalizabilidad .................. 256 8.4. Matricesdiagonalizables ......................... 264 8.5. Elpolinomiom ́ınimo ........................... 270 8.5.1. El polinomio m ́ınimo y diagonalizabilidad . . . . . . . . . . . 273 9. Subespacios T-invariantes 283 9.1. Subespacios��invariantes........................ 283 9.2. SubespaciosT-c ́ıclicos .......................... 289 9.3. Polinomiocaracter ́ısticoypolinomio m ́ı n i m o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 2 9.4. ElTeoremadeCayley-Hamilton..................... 296 9.5. Diagonalizacio ́nsimult ́anea........................ 298 9.5.1. El centralizador de un operador diagonalizable . . . . . . . . . 303 10.Formas cano ́nicas 313 10.1.Lemasb ́asicosdedescomposici ́on .................... 313 10.2.Lamatrizcompan ̃eradeunpolinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 10.3. Matrices diagonales por bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 10.4.Elp-zoclo ................................. 320 10.5.Sumandosc ́ıclicos............................. 350 10.6.Espacioscociente ............................. 351 10.7.Formacan ́onicaracional ......................... 357 10.7.1.Diagramadepuntos ....................... 359 10.8.M ́asacercadelosdiagramasdepuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 10.9.Formacan ́onicadeJordan ........................ 373 10.10.CadenasdeMarkov............................ 382 10.10.1.L ́ımites............................... 382 10.10.2.Procesos aleatorios y Cadenas de Markov . . . . . . . . . . . . 389 11.Espacios con producto interior II 407 11.1. Operadores normales, autoadjuntos, unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 11.2.Operadoresnormales,�=C....................... 408 11.3.Operadoresautoadjuntos,�=R .................... 410 11.4.Operadoresunitarios ........................... 413 11.5.Proyecciones................................ 413 ix 11.5.1. Proyecciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 11.6.Elteoremaespectral ........................... 418 Algunas notaciones utilizadas en el libro 423 Bibliograf ́ıa ́Indice alfab ́etico 429 430