دانلود کتاب Análisis Real, Volumen 1: Funciones de una variable

فهرست مطالب :

Capítulo 1. Conjuntos finitos e infinitos 1 1. Números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3. Conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4. Conjuntos numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Capítulo 2. Números reales 13 1. R es un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2. R es un cuerpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3. R es un cuerpo completo . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Capítulo 3. Sucesiones de números reales 25 1. Limite de una sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2. Límites y desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3. Operaciones con límites . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4. Límites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Capítulo 4. Series de números 41 1. Series convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2. Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . 44 3. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4. Reordenaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Capítulo 5. Algunas nociones de topología 53 1. Conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3. Puntos de acumulación . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4. Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5. El conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Capítulo 6. Límites de funciones 69 1. Definición y primeras propiedades . . . . . . . . . . . 69 2. Límites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3. Límites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Capítulo 7. Funciones continuas 83 1. Definición y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . 83 2. Funciones continuas en un intervalo . . . . . . . . . . 86 3. Funciones continuas en conjuntos compactos . . . . . 90 4. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Capítulo 8. Derivadas 101 1. La noción de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 2. Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3. Derivada y crecimiento local . . . . . . . . . . . . . . 107 4. Funciones derivables en un intervalo . . . . . . . . . . 109 5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Capítulo 9. Fórmula de Taylor y aplicaciones de la derivada 117 1. Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2. Funciones cóncavas y convexas . . . . . . . . . . . . . 121 3. Aproximaciones sucesivas y el método de Newton . . . 127 5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Capítulo 10. La integral de Riemann 135 1. Revisión de sup e ínf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 2. Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 3. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4. Condiciones suficientes para la integrabilidad . . . . . 145 5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Capítulo 11. Cálculo con integrales 151 1. Teorema clásicos del Cálculo Integral . . . . . . . . . . 151 2. La integral como límite de sumas de Riemann . . . . . 155 3. Logaritmos y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . 157 4. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Capítulo 12. Sucesiones y series de funciones 171 1. Convergencia puntual y convergencia uniforme . . . . 171 2. Propiedades de la convergencia uniforme . . . . . . . . 175 3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 4. Series trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Capítulo 13. Soluciones de los ejercicios 193 Lecturas recomendadas 223