دانلود کتاب Apuntes de Ecuaciones Diferenciales

فهرست مطالب :

I Ecuaciones diferenciales ordinarias
La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Conceptos básicos
El haz de funciones diferenciables
Espacio Tangente. Fibrado Tangente
Campos tangentes
Campos tangentes
Campo tangente a soporte.
Campo a soporte universal.
Espacio cotangente. La diferencial
Interpretación geométrica de la diferencial.
Fibrado cotangente.
Uno formas
Campos gradiente.
Sistemas de coordenadas
Coordenadas Polares
Coordenadas Roequis y cónicas
Ecuaciones diferenciales
Cambio de coordenadas.
Ecuaciones diferenciales no autónomas.
Ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales
Problemas Geométricos
Problemas Químicos. Desintegración.
Problemas Económicos.
Problemas Biológicos.
Problemas Físicos.
Problemas Arquitectónicos 1. La catenaria.
Problemas Arquitectónicos 2. La parábola.
Ejercicios resueltos
Bibliografía y comentarios
Teoremas fundamentales de Ecuaciones diferenciales
Grupo uniparamétrico
Existencia de solución
Aplicaciones Lipchicianas
Unicidad de solución
Grupo Uniparamétrico de un campo
Grupo Unip. de campos subidos
Diferenciabilidad del grupo unip.
Clasificación local de campos no singulares.
Campos completos
Corchete de Lie de campos tangentes
Derivada de Lie de campos tangentes
Método de Lie para resolver ED
Apéndice. La tractriz
Ejercicios resueltos
Bibliografía y comentarios
Campos tensoriales en un espacio vectorial
Tensores en un módulo libre
Campos tensoriales en Rn
Derivada de Lie de un campo tensorial
Campos tensoriales Covariantes
La diferencial exterior
El Lema de Poincaré
Aplicación. Factores de integración
Ejemplos de tensores
Tensor métrico del espacio euclídeo.
Gradiente, divergencia y rotacional.
Interpretación geométrica del rotacional.
Tensores de torsión y de curvatura.
Tensores de una variedad Riemanniana.
El tensor de inercia. Sólido rígido
La fuerza de coriolis.
El tensor de esfuerzos.
El tensor de deformación.
Ejercicios resueltos
Bibliografía y comentarios
Campos tangentes lineales
Ecuaciones diferenciales lineales
Existencia y unicidad de solución
Estructura de las soluciones
El sistema homogéneo.
El sistema no homogéneo.
Reducción de una EDL
Exponencial de matrices
EDL con coeficientes constantes
Clasificación de campos lineales
EDL con coeficientes periódicos
EDL de orden n con coeficientes constantes
Caso homogéneo.
Caso no homogéneo.
EDL de orden n. Wronskiano
Ecuación de Euler.
EDL de orden 2
Ecuación de Riccati.
Otros métodos para resolver EDL
Método de las potencias.
Método de Frobenius de las potencias.
Método de la transformada de Laplace.
La Ecuación de Bessel
La Ecuación de Legendre.
La Ecuación de Laguerre.
Algunas EDL de la Física
Problemas de mezclas.
Problemas de muelles.
Problemas de circuitos eléctricos.
Las leyes de Kepler.
Ejercicios resueltos
Bibliografía y comentarios
Estabilidad
Introducción
Linealización en un punto singular
Estabilidad de puntos singulares
Funciones de Liapunov
Aplicaciones
Sistemas tipo ``depredador–presa\".
Especies en competencia.
Aplicación en Mecánica clásica.
Clasificación topol. de las ED lineales
Teorema de resonancia de Poincaré
Cuenca de un sumidero
La aplicación de Poincaré
Estabilidad de órbitas cíclicas
El Teorema de Poincaré–Bendixson
Estabilidad de órbitas en el plano
Ejercicios resueltos
Bibliografía y comentarios
II Ecuaciones en derivadas parciales
Sistemas de Pfaff
Introducción
Sistemas de Pfaff y Distribuciones
Sistemas de Pfaff.
Distribuciones.
El sistema característico
El Teorema de la Proyección
Campos tangentes verticales
Proyecciones regulares
El Teorema de Frobenius
Método de Natani.
1–formas homogéneas.
Aplicación: Tensor de curvatura
Funciones especiales del fibrado tangente.
Variedad con conexión. Distribución asociada.
Aplicación: Termodinámica
Aplicación: Clasificación de formas
Clasificación de 1–formas
Clasificación de 2–formas.
Variedades simplécticas
Campos Hamiltonianos.
El Fibrado Cotangente.
Fibrado de Jets de funciones de orden 1
Fibrado tangente de una var.Riemanniana.
Mecánica Hamiltoniana.
Problema de los dos cuerpos. Leyes de Kepler
Ecuación de Kepler
Los 5 puntos de Lagrange
Apéndice: Variedades diferenciables
Particiones de la unidad
Inmersiones locales, subvariedades
Variedades integrales máximas
Otra demostración del Teorema de Frobenius
Ejercicios resueltos
Bibliografía y comentarios
Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Definición clásica
El cono de Monge
EDP cuasilineales
Ejemplo: Tráfico en una autopista.
Ejemplo: Central telefónica.
Ejemplo: El Proceso de Poisson.
Ejemplo: Procesos de nacimiento y muerte.
Sistema de Pfaff asociado a una EDP
Campo característico.
Teoremas de existencia y unicidad
Dimensión de una subvariedad solución.
Existencia de solución.
El problema de Cauchy.
Métodos para resolver una EDP
Método de las características de Cauchy
Método de la Proyección. Integral completa
Método de Lagrange–Charpit.
Método de la envolvente
Envolvente de una familia de superficies.
Envolvente de una familia de hipersuperficies.
Método de la envolvente.
Solución singular.
Definición intrínseca
Teoría de Hamilton–Jacobi
Método de Jacobi.
Ecuación de Hamilton–Jacobi.
Geodésicas de una variedad Riemanniana.
Introducción al cálculo de variaciones
Ecuaciones de Euler–Lagrange.
Ejemplo. La braquistócrona.
Ecuaciones de Euler–Lagrange y Hamilton.
Apéndice. La ecuación de Schrödinger
Lagrangianas. Teorema de Noëther
Transformada de Legendre.
Ejemplo. Lagrangiana de la longitud
Principio de Maupertuis
Curvas de mínima acción y geodésicas
El Teorema de Noëther.
Cálculo de variaciones en Jets
Jets de aplicaciones diferenciables
Distribución canónica
Apéndice. El Campo geodésico
Subidas canónicas de un campo tangente.
Variedad con conexión. Campo geodésico.
Campo geodésico en una variedad Riemanniana.
Ejemplo
Apéndice. Teoría de Hamilton–Jacobi
Apéndice. Óptica geométrica
Ley de Snell
Principio de Fermat
Óvalo de Descartes
Propiedad de refracción de las elipses
Propiedades de reflexión de las elipses
Trayectoria en un medio de índice variable
Apéndice. Envolventes y cáusticas
Epicicloide
Catenaria
Cicloide
Apéndice: Proyecciones de la esfera
La proyección estereográfica.
Proyecciones de Mercator y de Gall–Peters
Ejercicios resueltos
Bibliografía y comentarios
EDP de orden superior. Clasificación
Definición clásica
Operadores diferenciales lineales
Corchete de Lie de operadores lineales.
Restricción de un ODL.
Expresión en coordenadas de un ODL.
Caracterización del Operador de LaPlace
Derivada de Lie de un ODL
El símbolo de un ODL
ODL de orden 2 en R2. Clasificación
Operadores diferenciales lineales hiperbólicos.
Operadores diferenciales lineales parabólicos.
Campos y 1–formas complejas.
Operadores diferenciales lineales elípticos.
ODL de orden 2 en Rn. Clasificación
El ODL de Laplace–Beltrami
EDP de orden 2 en R2. Clasificación
ODL asociado a una solución de una EDP.
Reducción a forma canónica. Caso hiperbólico de una EDP cuasi–lineal.
Reducción a forma canónica. Caso hiperbólico de una EDP de tipo general.
Reducción a forma canónica. Caso elíptico.
Clasificación de sistemas de EDP
Reducción a forma diagonal de sistemas lineales hiperbólicos.
Reducción a forma diagonal de sistemas cuasi–lineales hiperbólicos.
Apéndice
Transformada de Legendre.
Ejercicios resueltos
Bibliografía y comentarios
El problema de Cauchy
Sistemas de EDP de primer orden
Curvas características
Propagación de singularidades.
Funciones analíticas reales
Series de potencias.
Series múltiples.
Series múltiples de funciones.
Funciones analíticas complejas
Las ecuaciones de Cauchy–Riemann.
Fórmula integral de Cauchy.
Funciones analíticas n–dimensionales.
El Teorema de Cauchy–Kowalewski
EDP de tipo hiperbólico
Método de las aprox. sucesivas
Existencia de solución.
Unicidad de solución.
Dependencia de las condiciones iniciales.
El problema de Goursat.
El problema de valor inicial característico.
Sistemas hiperbólicos
La función de Riemann–Green
Operador diferencial lineal adjunto.
ODL adjuntos en el plano.
El método de Riemann.
Ejercicios resueltos
Bibliografía y comentarios
La Ecuación de Laplace
El operador de LaPlace
Expresión de en coordenadas
Expresión de en coordenadas polares
Expresión de en coordenadas esféricas
Funciones armónicas
Funciones armónicas en el plano
Funciones armónicas y funciones analíticas.
Transformaciones conformes.
Transformaciones en Rn.
Traslaciones, giros y homotecias.
Transformaciones lineales.
Inversiones respecto de esferas.
Transformaciones en general.
Potenciales puntuales.
Potencial Newtoniano de una masa puntual.
Potencial de una carga puntual.
Potencial de un dipolo puntual.
Potencial de una densidad de carga.
Potencial superficial de capa simple.
Potencial superficial de capa doble.
Ecuación de Poisson (capa doble)
Ecuación de Poisson (capa simple)
Ecuación de Poisson.
Densidad dependiente del tiempo
Otros posibles potenciales.
El problema de Dirichlet
Los 3 Problemas.
Principio del máximo. Unicidad
Unicidad solución Ecuación de Poisson.
Problema Dirichlet en un rectángulo
Problema de Dirichlet en un disco
Fórmula integral de Poisson.
Polinomios de Tchebycheff.
Problema de Dirichlet en la esfera
Teoremas fundamentales
Identidades de Green.
Unicidad de solución en PVF
Fórmula de representación de Green
Teoremas del valor medio
Recíproco del Teorema del valor medio
Regularidad de las funciones armónicas
Teorema de Picard
Armónicos esféricos
Principio de Dirichlet
Introducción a las distribuciones
Método de la función de Green
El método de Perron
Funciones subarmónicas
Sucesiones de funciones armónicas
Problema Dirichlet. Existencia de solución
Funciones barrera
Teorema de la aplicación de Riemann
Ejercicios resueltos
Bibliografía y comentarios
La Ecuación de ondas
La Ecuación de ondas unidimensional
Series de Fourier.
Solución de D\'Alembert.
Energía de la cuerda.
Unicidad de solución de la ecuación de ondas.
Aplicaciones a la música.
La Ecuación de ondas bidimensional.
La Ecuación de ondas n–dimensional.
El método de separación de variables.
Solución de la membrana vibrante.
La desigualdad del dominio de dependencia.
Unicidad de solución.
Ecuación de ondas en regiones con frontera.
El método del descenso.
La Fórmula de Kirchhoff.
El método del descenso.
El principio de Huygens.
Ecuación de Poisson Dalambertiana
La Ecuación de Schrödinger.
Ecuación de ondas. Electromagnetismo
Relatividad especial de Einstein
Espacio Euclideo
Espacio de Minkowski
D\'Alembertiano
Gradiente y divergencia
D\'Alembertiano y codiferencial
Campo electromagnético
Vector impulso
Forma de carga
Ecuaciones de Maxwell
Ecuación de ondas
Energía de una onda
Ejercicios resueltos
Bibliografía y comentarios
La Ecuación del calor
La Ecuación del calor unidimensional
Varilla finita
El principio del máximo.
Solución en variables separadas.
Solución con condiciones dadas.
Varilla infinita
El problema de valor inicial.
Varilla semi–infinita. Aplicaciones
Temperatura en el interior de la Tierra.
Las tres leyes de Fourier.
La Ecuación del calor n–dimensional.
Caso bidimensional. Planteamiento.
El método de separación de variables.
Caso bidimensional. Algunas soluciones.
Caso n-dimensional
Ejercicios resueltos
Bibliografía y comentarios
Integración en variedades
Orientación sobre una variedad
Integración en una variedad orientada
Variedades con borde
El Teorema de Stokes
Integración en var. Riemannianas
Aplicaciones a la Física
Interpretación física de la integral compleja
La definición de Gauss de la curvatura
El operador de Laplace–Beltrami
El operador * de Hodge.
El operador de Laplace–Beltrami
Variedades complejas
Estructuras casi–complejas
Campos y 1–formas complejas
Integrabilidad de una estructura casi–compleja