دانلود کتاب Fourier Analysis - NPTEL Course

فهرست مطالب :

1 Fourier series 1
1.1 Appearance of Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 The formal Fourier series and some special kernels . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Dirichlet kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Dirichlet problem for the disc and Poisson kernel . . . . . . . 13
1.2.3 The heat kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Uniqueness of Fourier series and some consequences . . . . . . . . . . 16
1.4 Convolution theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 An approximate identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.1 Fejer kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.2 Poisson kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6 Summability of Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7 Fourier series of f 2 L2(T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8 Existence of a continuous function whose Fourier series diverges . . . 43
1.9 Brief history of Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.10 Solved problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2 Applications of Fourier series 69
2.1 The values of Riemann zeta function at even positive integers . . . . 69
2.2 Isoperimetric inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.3 Jacobi identity for the theta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.4 Weierstrass approximation theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5 Wallis\' product formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.6 Weyl\'s equidistribution theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3 Fourier transform 85
3.1 Denition and basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2 Schwartz space on R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3 Fourier transform on the Schwartz space . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4 Fourier transform for L2-functions on R . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.5 Fourier transform for L1-functions on R . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.6 Solved problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4 Tempered distributions 109
4.1 Topology on S(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2 Convergence in S0(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3 Some properties of S0(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4 Fourier transform on S0(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5 Some topics on Fourier transform 121
5.1 Poisson summation formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2 Uncertainty principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2.1 Heisenberg\'s uncertainty principle . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3 Paley-Wiener theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.4 Wiener\'s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.5 A multiplier theorem for L1(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.6 Solved problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6 Fourier analysis on Rn 147
6.1 Fourier transform on Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2 Fourier expansion of Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7 For further reading - Spherical harmonics and Fourier transform 171
7.1 Fourier transform of radial functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.2 Spherical harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.3 Zonal harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.4 Action of the Fourier transform on hk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Appendix 197
A.1 Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
A.2 Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
A.3 Banach algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
A.4 Topological vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Bibliography 202