دانلود کتاب Mathematical principles of the Internet. Vol.2 Mathematical concepts

فهرست مطالب :

Cover......Page 1
Half Title......Page 2
Title Page......Page 3
Copyright Page......Page 4
Dedication......Page 5
Table of Contents......Page 7
Preface......Page 15
List of Symbols......Page 25
Greek Symbols......Page 33
1: Number Theory......Page 35
1.2 Sets......Page 37
1.2.1 Set Operations......Page 39
1.2.3 Interval Notation......Page 41
1.3.1 Sequences......Page 42
1.3.2 Permutation Mappings......Page 43
1.3.3 Permutation Matrices......Page 44
1.3.5 Logical Operations......Page 45
1.4.3 Prime Numbers......Page 46
1.4.4 Greatest Common Divisor......Page 47
1.4.5 Continued Fractions......Page 51
1.5 Congruence Arithmetic......Page 54
1.5.1 Chinese Remainder Theorem......Page 57
1.5.2 Moebius Function......Page 58
1.5.3 Euler’s Phi-Function......Page 60
1.5.4 Modular Arithmetic......Page 62
1.5.5 Quadratic Residues......Page 64
1.5.6 Jacobi Symbol......Page 66
1.6 Cyclotomic Polynomials......Page 67
1.7.1 Principle of Inclusion and Exclusion......Page 69
1.7.2 Stirling Numbers......Page 70
Problems......Page 71
References......Page 76
2: Abstract Algebra......Page 79
2.2 Algebraic Structures......Page 81
2.2.1 Groups......Page 82
2.2.2 Rings......Page 86
2.2.3 Subrings and Ideals......Page 87
2.2.4 Fields......Page 89
2.2.5 Polynomial Rings......Page 91
2.2.6 Boolean Algebra......Page 96
2.3 More Group Theory......Page 97
2.4 Vector Spaces over Fields......Page 100
2.5 Linear Mappings......Page 104
2.6 Structure of Finite Fields......Page 105
2.6.1 Construction......Page 107
2.6.2 Minimal Polynomials......Page 110
2.6.3 Irreducible Polynomials......Page 113
2.6.4 Factoring Polynomials......Page 114
2.6.5 Examples......Page 115
2.7 Roots of Unity in Finite Field......Page 120
2.8 Elliptic Curves......Page 121
2.8.1 Elliptic Curves over Real Fields......Page 124
2.8.2 Elliptic Curves over Finite Fields......Page 129
2.8.3 Elliptic Curves over ℤ��, p > 3......Page 130
2.8.4 Elliptic Curves over GF2n......Page 133
2.9.1 Basics of Hyperelliptic Curves......Page 134
2.9.2 Polynomials, Rational Functions, Zeros, and Poles......Page 136
2.9.3 Divisors......Page 139
2.9.4 Mumford Representation of Divisors......Page 145
Reference Notes......Page 151
Problems......Page 152
References......Page 166
3: Matrices and Determinants......Page 169
3.2 Basic Matrix Theory......Page 171
3.2.1 Basic Matrix Operations......Page 173
3.2.2 Different Types of Matrices......Page 174
3.2.3 Matrix Norm......Page 176
3.3.1 Definitions......Page 178
3.3.3 Binet-Cauchy Theorem......Page 180
3.4.1 Rank of a Matrix......Page 182
3.4.3 Nullity of a Matrix......Page 183
3.4.4 System of Linear Equations......Page 184
3.4.6 Tensor Product of Matrices......Page 185
3.5 Matrices as Linear Transformations......Page 186
3.6 Spectral Analysis of Matrices......Page 189
3.7 Hermitian Matrices and Their Eigenstructures......Page 192
3.8 Perron-Frobenius Theory......Page 195
3.8.1 Positive Matrices......Page 196
3.8.2 Nonnegative Matrices......Page 197
3.9 Singular Value Decomposition......Page 199
3.10 Matrix Calculus......Page 202
3.11.1 Gaussian Orthogonal Ensemble......Page 205
3.11.2 Wigner’s Semicircle Law......Page 207
Problems......Page 211
References......Page 235
4: Graph Theory......Page 237
4.2 Undirected and Directed Graphs......Page 239
4.2.1 Undirected Graphs......Page 240
4.2.2 Directed Graphs......Page 241
4.3 Special Graphs......Page 243
4.4.1 Graph Operations......Page 245
4.4.2 Graph Representations......Page 246
4.4.3 Graph Transformations......Page 248
4.5 Plane and Planar Graphs......Page 249
4.6 Some Useful Observations......Page 252
4.7.1 Matrix-Tree Theorem......Page 254
4.7.2 Numerical Algorithm......Page 256
4.7.3 Number of Labeled Trees......Page 258
4.7.5 Generation of Spanning Trees of a Graph......Page 259
4.8 The K-core, K-crust, and K-shell of a Graph......Page 260
4.9 Matroids......Page 262
4.10.1 Spectral Analysis via Adjacency Matrix......Page 266
Reference Notes......Page 269
Problems......Page 270
References......Page 275
5: Geometry......Page 277
5.1 Introduction......Page 279
5.2.1 Requirements for an Axiomatic System......Page 280
5.2.2 Axiomatic Foundation of Euclidean Geometry......Page 281
5.2.3 Basic Definitions and Constructions......Page 283
5.3 Circle Inversion......Page 285
5.4.1 Mathematical Preliminaries......Page 288
5.4.2 Lines and Planes......Page 290
5.4.3 Curves in Plane and Space......Page 291
5.5.1 Preliminaries......Page 297
5.5.2 First Fundamental Form......Page 299
5.5.3 Conformal Mapping of Surfaces......Page 301
5.5.4 Second Fundamental Form......Page 302
5.6 Properties of Surfaces......Page 305
5.6.1 Curves on a Surface......Page 306
5.6.2 Local Isometry of Surfaces......Page 312
5.6.3 Geodesics on a Surface......Page 313
5.7 Prelude to Hyperbolic Geometry......Page 318
5.7.1 Surfaces of Revolution......Page 319
5.7.2 Constant Gaussian Curvature Surfaces......Page 321
5.7.3 Isotropic Curves......Page 322
5.7.4 A Conformal Mapping Perspective......Page 323
5.8 Hyperbolic Geometry......Page 326
5.8.1 Upper Half-Plane Model......Page 327
5.8.2 Isometries of Upper Half-Plane Model......Page 329
5.8.3 Poincaré Disc Model......Page 331
5.8.5 Tessellations......Page 335
5.8.6 Geometric Constructions......Page 336
Problems......Page 338
References......Page 380
6: Applied Analysis......Page 383
6.2 Basic Analysis......Page 385
6.2.2 Limits, Continuity, Derivatives, and Monotonicity......Page 386
6.2.3 Partial Derivatives......Page 390
6.2.4 Jacobians, Singularity, and Related Topics......Page 392
6.2.5 Hyperbolic Functions......Page 393
6.2.6 Ordinary Differential Equations......Page 394
6.3 Complex Analysis......Page 396
6.3.1 Coordinate Representation......Page 397
6.3.2 De Moivre’s and Euler’s Identities......Page 398
6.3.3 Limits, Continuity, Derivatives, and Analyticity......Page 399
6.3.4 Contours or Curves......Page 400
6.3.6 Integration......Page 401
6.3.7 Infinite Series......Page 402
6.3.9 Saddle Point Technique of Integration......Page 403
6.4.1 Straight Line and Circle......Page 405
6.4.2 Conic Sections......Page 406
6.5 Moebius Transformation......Page 407
6.6.2 Resultant of Two Polynomials......Page 412
6.6.3 Discriminant of a Polynomial......Page 416
6.6.4 Bézout’s Theorem......Page 417
6.7.1 Asymptotic Behavior......Page 422
6.7.2 Algorithmic-Complexity Classes......Page 426
6.8.1 Dot Product......Page 427
6.8.2 Vector Product......Page 428
6.9 Vector Spaces Revisited......Page 429
6.9.2 Complete Vector Space......Page 430
6.9.3 Compactness......Page 432
6.9.4 Inner Product Space......Page 433
6.9.5 Orthogonality......Page 434
6.9.7 Projections......Page 436
6.10 Fourier Series......Page 437
6.10.1 Generalized Functions......Page 438
6.10.2 Conditions for the Existence of Fourier Series......Page 439
6.10.3 Complex Fourier Series......Page 440
6.10.4 Trigonometric Fourier Series......Page 441
6.11.1 Fourier Transform......Page 443
6.11.2 Laplace Transform......Page 447
6.11.3 Mellin Transform......Page 450
6.11.4 Wigner-Ville Transform......Page 452
6.11.5 Wavelet Transform......Page 453
6.11.6 Hadamard Transform......Page 456
6.11.7 Discrete Fourier Transform......Page 457
6.12 Faà di Bruno’s Formula......Page 463
6.13.1 Gamma and Incomplete Gamma Functions......Page 465
6.13.3 Riemann’s Zeta Function......Page 466
6.13.6 Exponential Integral......Page 467
Reference Notes......Page 468
Problems......Page 469
References......Page 487
7: Optimization, Stability, and Chaos Theory......Page 491
7.1 Introduction......Page 493
7.2.1 Convex and Concave Functions......Page 494
7.2.2 Convex Sets......Page 497
7.3 Inequalities......Page 499
7.4.1 Hyperplanes......Page 502
7.4.3 Primal and Dual Problems......Page 503
7.5.1 Taylor’s Series of Several Variables......Page 507
7.5.2 Minimization and Maximization of a Function......Page 508
7.5.3 Nonlinear Constrained Optimization......Page 511
7.5.4 Optimization Problem with Equality Constraints......Page 512
7.5.5 Optimization Problem with Inequality Constraints......Page 515
7.5.6 Nonlinear Optimization via Duality Theory......Page 521
7.6 Calculus of Variations......Page 525
7.7.1 Notions Used in Describing a System......Page 528
7.7.2 Stability Concepts......Page 533
7.8 Chaos Theory......Page 542
7.8.1 Preliminaries......Page 543
7.8.2 Characterization of Chaotic Dynamics......Page 545
7.8.3 Examples of Chaotic Maps......Page 548
Reference Notes......Page 550
Problems......Page 551
References......Page 569
8: Probability Theory......Page 573
8.1 Introduction......Page 575
8.2 Axioms of Probability Theory......Page 576
8.3 Random Variables......Page 578
8.4 Average Measures......Page 580
8.4.1 Expectation......Page 581
8.5 Independent Random Variables......Page 582
8.6.1 z-Transform......Page 583
8.6.2 Moment Generating Function......Page 584
8.7 Examples of Some Distributions......Page 585
8.7.1 Discrete Distributions......Page 586
8.7.2 Continuous Distributions......Page 587
8.7.3 Multivariate Gaussian Distribution......Page 591
8.8.1 Well-Known Inequalities......Page 593
8.8.2 Law of Large Numbers......Page 595
8.8.3 Gaussian Central Limit Theorem......Page 596
8.9.1 Characteristic Function......Page 598
8.9.2 Infinitely Divisible Distributions......Page 599
8.9.3 Stable Distributions......Page 603
8.10.1 Joint Distribution of U and V......Page 607
8.10.3 A Property of the Average Value of Range......Page 608
8.11 Large Deviation Theory......Page 609
8.11.1 A Prelude via Saddle Point Technique......Page 610
8.11.2 Cramér and Bahadur-Rao Theorems......Page 611
Problems......Page 614
References......Page 640
9: Stochastic Processes......Page 643
9.2 Terminology and Definitions......Page 645
9.3.1 Sigma-Algebra, Measurable Sets, and Measurable Space......Page 647
9.3.3 Measure......Page 648
9.3.4 Measurable Function......Page 649
9.4.1 Poisson Process......Page 650
9.4.2 Shot Noise Process......Page 653
9.4.4 Brownian Motion Process......Page 656
9.4.5 Gaussian White Noise Process......Page 657
9.4.6 Brownian Motion and Gaussian White Noise......Page 658
9.5 Point Process......Page 659
9.5.1 Poisson Point Process......Page 662
9.5.2 Laplace Functional......Page 664
9.5.3 Marked Point Process......Page 666
9.5.4 Transformation of Poisson Point Processes......Page 668
9.6.1 Ordinary Renewal Process......Page 669
9.6.2 Modified Renewal Process......Page 671
9.6.3 Alternating Renewal Process......Page 672
9.6.4 Backward and Forward Recurrence-Times......Page 674
9.6.6 Equilibrium Alternating Renewal Process......Page 675
9.7 Markov Processes......Page 676
9.7.1 Discrete-Time Markov Chains......Page 677
9.7.2 Continuous-Time Markov Chains......Page 684
9.7.3 Continuous-Time Markov Processes......Page 692
Reference Notes......Page 695
Problems......Page 696
References......Page 711
Index......Page 713